“数”与“形”发展的此消彼长,事关三次数学危机的爆发与解决

在今天中小学的“数学”学习中,“数形结合”是极为重要的思想方法。当我们回顾人类的数学发展史,会发现“数”与“形”的此消彼长,堪称一部起伏跌宕、危机四伏的传奇,数学史上发生的三次“数学危机”都与此相关。这到底是怎么回事呢?还得从遥远的“芝诺悖论”说起。

在“芝诺悖论”中,阿基里斯是古希腊最擅长奔跑的英雄,虽然在现实中阿基里斯很快就能追上乌龟,但在逻辑中却永远追不上乌龟。这个“悖论”揭示出了一个非常严重的问题,那就是警告人们:在我们探索未知世界的时候,有可能会遇到这样的情况:某些在逻辑上看起来无懈可击的问题,却有可能完全与事实不符。

这些担心并不是多余的,当我们回顾人类数学的发展史,这样的情况一直在发生着,特别是三次“数学危机”的爆发都与此相关。

为了解决这些问题,“数形结合”成为了极为有力的“思想方法”。但这一“思想方法”在漫长的发展过程中,却一直有着厚此薄彼的倾向:要么是“重数轻形”,要么是“重形轻数”。

在“第一次数学危机”爆发之前,“重数轻形”的思潮达到了无以复加的地步,当时的“毕达哥拉斯学派”所提出来的“万物皆数(有理数)”的理论认为,这个世界只需用“整数”或者“整数之比”就可以完整地描述出来。毕达哥拉斯学派对“数”进行了疯狂的崇拜,将其视为至高无上的信条,凡是对此有质疑的信徒,都将受到严厉的惩罚。这个时期的“数”,占据着绝对的统治地位,而“形”只是作为“数”的依附而存在。

然而不久之后便发生了戏剧性的一幕:毕达哥拉斯的学生希帕索斯意外地发现,边长为“1”的“正方形”的“对角线”无法用“整数”来表示——新的数“根号2”被发现了。这一发现动摇了毕达哥拉斯学派在学术上的统治地位,希帕索斯因此被抛入大海,献出了宝贵的生命。

希帕索斯用他的生命唤起了人们对“数学”的重新思考,各种新的思想在那个遥远的时空激烈碰撞着,闪烁着耀眼的火花,“第一次数学危机”爆发了。

在这次危机中,以“毕达哥拉斯学派”的“万物皆数(有理数)”为基础的“理论体系”被推翻了,新的“理论体系”开始重建。

“第一次数学危机”使数学家们发现了“有理数系”的缺陷,也意识到了以“数”作为主导来研究“数学”可能会遗漏一些重要的东西,人们开始普遍认为以“几何”为主导来研究“数学”才是最可靠的,“重形轻数”的思想开始崛起。

但是,“重形轻数”的思想很快导致了不好的后果:虽然人们在“第一次数学危机”中已经意识到了“实数系”的存在,并且已经提出了“算术连续统”的设想,却最终因为担心它的“不严密性”而放弃了对“实数系”的研究,在之后上千年的时间里,“几何”一直占据着“统治地位”,“算术”一直是依附于“几何”的存在,在“算术”研究几乎陷于停滞了上千年的同时,对“几何学”的研究热情却空前高涨。

正是在这样的背景下,一部具有划时代意义的史诗级巨著《几何原本》横空出世,在遥远人类文明的夜空,绽放出夺目的光芒。

《几何原本》的伟大之处在于它建立了人类数学史上的第一个“公理化体系”,该书从五大“公理”开始,用逻辑推理的方法得到“定理”,通过严密的层层推导,将整个“几何学”构建成了庞大而又清晰的“逻辑体系”。它包括了今天中小学几何部分的全部内容,甚至产生了“微积分”思想的萌芽。《几何原本》从根本上改变了人们认识大自然的方法,由之前的“直觉经验”转向了“证明推理”,推动了“公理几何学”与“逻辑学”的发展,对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响。

历史上无数的科学巨匠都从《几何原本》中汲取过无穷的智慧。特别是牛顿,他的考官巴罗博士曾提醒他,由于他的几何基础知识过于薄弱,将来无论如何用功都很难有所成就。深受打击的牛顿在夜店里意外地买到了《几何原本》,他反复地学习和研究,最终获得了伟大的成就。

明代数学家徐光启也给予《几何原本》极高的评价:“每一个人都应该好好地学习《几何原本》,只要把这本书学通了,那么这世界上再也没有不能精通的事了。”

然而,当人们兴高采烈地满足于《几何原本》带来的丰富成果时,却忽略了同等重要的“实数理论”的研究,这种“重形轻数”思想所带来的弊端,在漫长的岁月里慢慢地积累着,为“第二次数学危机”埋下了导火索。

在“第二次数学危机”发生之前的17、18世纪,牛顿和莱布尼茨分别独立地发明了伟大的微积分,为人类科技的发展注入了全新的血液。由于牛顿和莱布尼茨那个时代的数学家们都深受《几何原本》的影响,重“形”轻“数”的“思想方法”在他们的脑海中根深蒂固,对“实数理论”的认识还停留在一千年以前的空白状态。

当新生的“微积分”广泛地应用于各个领域显示出巨大的威力的时候,人们急切地开创新的领域而忽略了“微积分”的基础建设。

随着时间的推移,“微积分”基础中的逻辑问题渐渐地显露了出来,其中最为关键问题就是“无穷小量”究竟是不是“零”?然而无论答案为肯定还是否定,都将导致矛盾。人们在使用的过程中也显得极为混乱,有时把“无穷小量”当作“不为零的有限量”,将其从“等式两端”消去,而有时却又将“无穷小量”当作“零”,将它忽略不计。这些问题,实际上就是与“实数理论”相关的问题,也是“重形轻数”所导致的后果。

英国大主教贝克莱出于对科学的厌恶和对宗教的维护,抓住当时“微积分”和“无穷小方法”中的一些不合逻辑的问题,对“微积分”发起了猛烈的抨击,新生的“微积分”大厦摇摇欲坠。

为了挽救近代数学史上最伟大的成果,全世界的数学家行动了起来,开始了对“微积分”基础的“严格化”建设。然而最为急切要解决的问题便是“实数理论”中关于“连续”的定义。而要解决“实数”中的“连续”问题,就必然彻底解决“无穷小量”的问题。

“无穷小量”就像一匹脱缰的野马在数学的荒原上无羁地驰骋着,最终由柯西给它套上了缰绳:柯西用“极限”的方法定义了“无穷小量”。

为了彻底解决“微积分”的底层逻辑问题,19世纪70年代初,威尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了“实数理论”,在“实数理论”的基础上,又建立起了“极限论”的基本定理,从而使“数学分析”建立在“实数理论”的严格基础之上。也是在这一时期,现代数学的基础理论“集合论”开始由康托尔独立创立,并且渗透到了各个数学分支的基础之中。

“微积分”经过“第二次数学危机”的洗礼,填充了“数”与“形”长达千年的沟壑,使得其基础已变得十分健全,接下来的“微积分”很快得到了更为迅猛发展和广泛应用,在各个科技领域中大显身手,解决了大量的数学问题、物理问题、天文问题,大大推进了“工业革命”的发展,成为了18世纪“数学世界”的“霸主”。

正当人们高奏凯歌,声称已经解决了“数学世界”的所有问题的时候,新的问题又出现了:数学家罗素提出了著名的“罗素悖论”,新生的“集合论”受到了激烈的抨击,以“集合论”为基础的“近代数学厦”步入崩溃的边缘,“第三次数学危机”暴发了。

数学家们为了解决“第三次数学危机”中,参照《几何原本》的“公理化体系”,将“实数”的某些“独立性质”列出来作为“公理”,然后进行层层推导,为“集合论”构建成了一个完整的“公理化系统”,最终完满地解决了“第三次数学危机”。这又是一次“数”与“形”的思想方法碰撞后所产生的思想火花,照亮了数学向前发展的康庄大道。

回顾人类数学史的艰难发展过程,“数”与“形”的地位是同等重要的,二者的思想方法交相辉映,相互渗透,缺一不可,一起推动着数学不断地向前发展。

关键词: 几何原本 毕达哥拉斯学派 这样的情况

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