“数”与“形”发展的此消彼长，事关三次数学危机的爆发与解决

在今天中小学的“数学”学习中，“数形结合”是极为重要的思想方法。当我们回顾人类的数学发展史，会发现“数”与“形”的此消彼长，堪称一部起伏跌宕、危机四伏的传奇，数学史上发生的三次“数学危机”都与此相关。这到底是怎么回事呢？还得从遥远的“芝诺悖论”说起。

在“芝诺悖论”中，阿基里斯是古希腊最擅长奔跑的英雄，虽然在现实中阿基里斯很快就能追上乌龟，但在逻辑中却永远追不上乌龟。这个“悖论”揭示出了一个非常严重的问题，那就是警告人们：在我们探索未知世界的时候，有可能会遇到这样的情况：某些在逻辑上看起来无懈可击的问题，却有可能完全与事实不符。

这些担心并不是多余的，当我们回顾人类数学的发展史，这样的情况一直在发生着，特别是三次“数学危机”的爆发都与此相关。

为了解决这些问题，“数形结合”成为了极为有力的“思想方法”。但这一“思想方法”在漫长的发展过程中，却一直有着厚此薄彼的倾向：要么是“重数轻形”，要么是“重形轻数”。

在“第一次数学危机”爆发之前，“重数轻形”的思潮达到了无以复加的地步，当时的“毕达哥拉斯学派”所提出来的“万物皆数（有理数）”的理论认为，这个世界只需用“整数”或者“整数之比”就可以完整地描述出来。毕达哥拉斯学派对“数”进行了疯狂的崇拜，将其视为至高无上的信条，凡是对此有质疑的信徒，都将受到严厉的惩罚。这个时期的“数”，占据着绝对的统治地位，而“形”只是作为“数”的依附而存在。

然而不久之后便发生了戏剧性的一幕：毕达哥拉斯的学生希帕索斯意外地发现，边长为“1”的“正方形”的“对角线”无法用“整数”来表示——新的数“根号2”被发现了。这一发现动摇了毕达哥拉斯学派在学术上的统治地位，希帕索斯因此被抛入大海，献出了宝贵的生命。

希帕索斯用他的生命唤起了人们对“数学”的重新思考，各种新的思想在那个遥远的时空激烈碰撞着，闪烁着耀眼的火花，“第一次数学危机”爆发了。

在这次危机中，以“毕达哥拉斯学派”的“万物皆数（有理数）”为基础的“理论体系”被推翻了，新的“理论体系”开始重建。

“第一次数学危机”使数学家们发现了“有理数系”的缺陷，也意识到了以“数”作为主导来研究“数学”可能会遗漏一些重要的东西，人们开始普遍认为以“几何”为主导来研究“数学”才是最可靠的，“重形轻数”的思想开始崛起。

但是，“重形轻数”的思想很快导致了不好的后果：虽然人们在“第一次数学危机”中已经意识到了“实数系”的存在，并且已经提出了“算术连续统”的设想，却最终因为担心它的“不严密性”而放弃了对“实数系”的研究，在之后上千年的时间里，“几何”一直占据着“统治地位”，“算术”一直是依附于“几何”的存在，在“算术”研究几乎陷于停滞了上千年的同时，对“几何学”的研究热情却空前高涨。

正是在这样的背景下，一部具有划时代意义的史诗级巨著《几何原本》横空出世，在遥远人类文明的夜空，绽放出夺目的光芒。

《几何原本》的伟大之处在于它建立了人类数学史上的第一个“公理化体系”，该书从五大“公理”开始，用逻辑推理的方法得到“定理”，通过严密的层层推导，将整个“几何学”构建成了庞大而又清晰的“逻辑体系”。它包括了今天中小学几何部分的全部内容，甚至产生了“微积分”思想的萌芽。《几何原本》从根本上改变了人们认识大自然的方法，由之前的“直觉经验”转向了“证明推理”，推动了“公理几何学”与“逻辑学”的发展，对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响。

历史上无数的科学巨匠都从《几何原本》中汲取过无穷的智慧。特别是牛顿，他的考官巴罗博士曾提醒他，由于他的几何基础知识过于薄弱，将来无论如何用功都很难有所成就。深受打击的牛顿在夜店里意外地买到了《几何原本》，他反复地学习和研究，最终获得了伟大的成就。

明代数学家徐光启也给予《几何原本》极高的评价：“每一个人都应该好好地学习《几何原本》，只要把这本书学通了，那么这世界上再也没有不能精通的事了。”

然而，当人们兴高采烈地满足于《几何原本》带来的丰富成果时，却忽略了同等重要的“实数理论”的研究，这种“重形轻数”思想所带来的弊端，在漫长的岁月里慢慢地积累着，为“第二次数学危机”埋下了导火索。

在“第二次数学危机”发生之前的17、18世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立地发明了伟大的微积分，为人类科技的发展注入了全新的血液。由于牛顿和莱布尼茨那个时代的数学家们都深受《几何原本》的影响，重“形”轻“数”的“思想方法”在他们的脑海中根深蒂固，对“实数理论”的认识还停留在一千年以前的空白状态。

当新生的“微积分”广泛地应用于各个领域显示出巨大的威力的时候，人们急切地开创新的领域而忽略了“微积分”的基础建设。

随着时间的推移，“微积分”基础中的逻辑问题渐渐地显露了出来，其中最为关键问题就是“无穷小量”究竟是不是“零”？然而无论答案为肯定还是否定，都将导致矛盾。人们在使用的过程中也显得极为混乱，有时把“无穷小量”当作“不为零的有限量”，将其从“等式两端”消去，而有时却又将“无穷小量”当作“零”，将它忽略不计。这些问题，实际上就是与“实数理论”相关的问题，也是“重形轻数”所导致的后果。

英国大主教贝克莱出于对科学的厌恶和对宗教的维护，抓住当时“微积分”和“无穷小方法”中的一些不合逻辑的问题，对“微积分”发起了猛烈的抨击，新生的“微积分”大厦摇摇欲坠。

为了挽救近代数学史上最伟大的成果，全世界的数学家行动了起来，开始了对“微积分”基础的“严格化”建设。然而最为急切要解决的问题便是“实数理论”中关于“连续”的定义。而要解决“实数”中的“连续”问题，就必然彻底解决“无穷小量”的问题。

“无穷小量”就像一匹脱缰的野马在数学的荒原上无羁地驰骋着，最终由柯西给它套上了缰绳：柯西用“极限”的方法定义了“无穷小量”。

为了彻底解决“微积分”的底层逻辑问题，19世纪70年代初，威尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了“实数理论”，在“实数理论”的基础上，又建立起了“极限论”的基本定理，从而使“数学分析”建立在“实数理论”的严格基础之上。也是在这一时期，现代数学的基础理论“集合论”开始由康托尔独立创立，并且渗透到了各个数学分支的基础之中。

“微积分”经过“第二次数学危机”的洗礼，填充了“数”与“形”长达千年的沟壑，使得其基础已变得十分健全，接下来的“微积分”很快得到了更为迅猛发展和广泛应用，在各个科技领域中大显身手，解决了大量的数学问题、物理问题、天文问题，大大推进了“工业革命”的发展，成为了18世纪“数学世界”的“霸主”。

正当人们高奏凯歌，声称已经解决了“数学世界”的所有问题的时候，新的问题又出现了：数学家罗素提出了著名的“罗素悖论”，新生的“集合论”受到了激烈的抨击，以“集合论”为基础的“近代数学厦”步入崩溃的边缘，“第三次数学危机”暴发了。

数学家们为了解决“第三次数学危机”中，参照《几何原本》的“公理化体系”，将“实数”的某些“独立性质”列出来作为“公理”，然后进行层层推导，为“集合论”构建成了一个完整的“公理化系统”，最终完满地解决了“第三次数学危机”。这又是一次“数”与“形”的思想方法碰撞后所产生的思想火花，照亮了数学向前发展的康庄大道。

回顾人类数学史的艰难发展过程，“数”与“形”的地位是同等重要的，二者的思想方法交相辉映，相互渗透，缺一不可，一起推动着数学不断地向前发展。

关键词： 几何原本 毕达哥拉斯学派 这样的情况

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